Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（cosα，sinα），Q（$\frac{3}{2}$，0），其中0＜α＜$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{PQ}$$⊥\overrightarrow{PO}$，求cosα的值；
（2）若|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{PO}$|，求sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积德运算和向量垂直的条件可得cosα=$\frac{2}{3}$，
（2）利用向量的模的计算得到cosα=$\frac{3}{4}$，再根据角的范围和二倍公式和同角的三角函数的关系以及两角差的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）∵P（cosα，sinα），Q（$\frac{3}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{3}{2}$-cosα，-sinα），$\overrightarrow{PO}$=（-cosα，-sinα），
∵$\overrightarrow{PQ}$$⊥\overrightarrow{PO}$，
∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PO}$=0，
∴-$\frac{3}{2}$cosα+cos²α+sin²α=0
∴cosα=$\frac{2}{3}$；
（2）|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{PO}$|，
∴（$\frac{3}{2}$-cosα）²+（-sinα）²=（-cosα）²+（-sinα）²，
∴cosα=$\frac{3}{4}$，
∴cos2α=2cos²α-1=2×$\frac{9}{16}$-1=$\frac{1}{8}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜2α＜π，
∴sin2α=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α-cos2α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{3\sqrt{7}}{8}$-$\frac{1}{8}$）=$\frac{3\sqrt{14}-\sqrt{2}}{16}$．

点评 本题考查了向量的数量积德运算模的计算，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角差的正弦公式，属于中档题．