Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为-1，1，5，求sin∠MNP的值；
（3）若对任意的x₁，x₂∈[1，2]，关于m的不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤-m²+2m+4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图象，求出A、ω与φ的值即可；
（Ⅱ）求出f（-1）、f（1）与f（5）的值，利用向量求出cos＜$\overrightarrow{NM}$，$\overrightarrow{NP}$＞，即可求出sin∠MNP的值；
（3）根据f（x）在区间[1，2]上的单调性求出函数在最值，把不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤-m²+2m+4转化为关于m的一元二次不等式，求出它的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）根据图象得，-A=-1，∴A=1；
又$\frac{T}{2}$=1-（-3）=4，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=8，解得ω=$\frac{π}{4}$；
又x=-1时，ωx+φ=kπ，
解得φ=kπ-ωx=kπ+$\frac{π}{4}$，
当k=0时，φ=$\frac{π}{4}$；
∴函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）；
（Ⅱ）∵f（-1）=sin（-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=0，
f（1）=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=1，
f（5）=sin（$\frac{5π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=-1，
∴M（-1，0），N（1，1），P（5，-1）；
∴$\overrightarrow{NM}$=（-2，-1），$\overrightarrow{NP}$=（4，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{NM}$，$\overrightarrow{NP}$＞=$\frac{\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}}{|\overrightarrow{NM}|×|\overrightarrow{NP}|}$=$\frac{-2×4+（-1）×（-2）}{\sqrt{{（-2）}^{2}{+（-1）}^{2}}×\sqrt{{4}^{2}{+（-2）}^{2}}}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin∠MNP=$\frac{4}{5}$；
（3）∵f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，
且f（1）=1，f（2）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴对任意的x₁，x₂∈[1，2]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即-m²+2m+4≥1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得m²-2m-3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤0，
解得$\frac{2-\sqrt{16+2\sqrt{2}}}{2}$≤m≤$\frac{2+\sqrt{16+2\sqrt{2}}}{2}$，
∴实数m的取值范围是[1-$\frac{\sqrt{16+2\sqrt{2}}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{16+2\sqrt{2}}}{2}$]．

点评 本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的应用问题与不等式恒成立的应用问题，是综合性题目．