Question

20．已知两条异面直线a，b所成的角为50°，则过空间任意一点P与a，b所成的角均为65°的直线共有（　　）条．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在空间取一过点P的平面α，过点P分别作a，b的平行线a′、b′，则a′、b′所成锐角等于50°，所成钝角为130°，当过P的直线PM的射影P在a′、b′所成锐角或钝角的平分线上时，PM与两条直线a，b所成的角相等，分别求出两种情况下PM与a，b的夹角的范围，根据对称性即可得出答案．

解答 解：在空间取一点P，经过点P分别作a∥a′，b∥b′，
设直线a′、b′确定平面α，
当直线PM满足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分线上时，
PM与a′所成的角等于PM与b′所成的角．
因为直线a，b所成的角为50°，得a′、b′所成锐角等于50°．
所以当PM的射影PQ在a′、b′所成锐角的平分线上时，
PM与a′、b′所成角的范围是[25°，90°）．
这种情况下，过点P有两条直线与a′、b′所成的角都是65°．
当PM的射影PQ在a′、b′所成钝角的平分线上时，PM与a′、b′所成角的范围是[65°，90°）．
这种情况下，过点P有且只有一条直线（即PM?α时）与a′、b′所成的角都是65°．
综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是65°的直线有3条．
故选：C．

点评 本题考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于中档题．