Question

5．设P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一点，过椭圆中心作直线交椭圆于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k₁，k₂，且${k_1}{k_2}=-\frac{1}{4}$，则椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设A（m，n），B（-m，-n），又设P（x₀，y₀），分别代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设A（m，n），B（-m，-n），
即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又设P（x₀，y₀），即有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得，$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{n}^{2}}{{b}^{2}}$=0，
即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{n}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
则k₁=$\frac{{y}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$，k₂=$\frac{{y}_{0}+n}{{x}_{0}+m}$，
k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{n}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即为a=2b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即有离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的求法，注意运用作差法，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．