Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且椭圆上一点与两焦点的距离和为6，离心率为

5

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点C（-1，0）与x轴垂直的直线l，与椭圆交于A，B两点（A点在x轴上方），求△OAB的面积．

Answer 1

分析：（I）因为椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，故可用待定系数法求椭圆的标准方程，有椭圆定义得a=3，由离心率定义得c，最后由平方关系求b即可；（II）将x=-1代入椭圆标准方程即可求得弦长|AB|，在利用三角形面积公式即可得△OAB的面积

解答：解：（Ⅰ）解：设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1
由椭圆定义知：2a=6，∴a=3
又∵e=

c

a

=

5

3

，∴c=

5

，∴b=2
故椭圆方程为

y2

9

+

x2

4

=1
（Ⅱ）由过点C（-1，0）与x轴垂直的直线l，与椭圆交于A、B两个点
故将x=-1代入

y2

9

+

x2

4

=1，得y=±

3 3

2

∴|AB|=3

3

所以△OAB的面积 S=

1

2

|OC|•|AB|=

1

2

×1×3

3

=

3 3

2

点评：本题考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算