Question

2．已知数列{a_n}及f（x_n）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿn，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n-10，求数列{|b_n|}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若 （$\frac{1}{2}$ⁿ）•a_n≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过令n=1、2、3代入计算可知a₁、a₂、a₃的值，利用（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）计算即得通项公式；
（Ⅱ）通过a_n=2n-1可知当n≥$\frac{11}{2}$时b_n≥0，分类讨论即得结论；
（Ⅲ）通过令c_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，通过作差可知当n=2时c_n取最大值$\frac{3}{4}$，进而解不等式$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1≥$\frac{3}{4}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f₁（-1）=-a₁=-1，∴a₁=1，
∵f₂（-1）=-a₁+a₂=2，∴a₂=3，
∵f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，∴a₃=5，
∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n，
∴a_n+1=（n+1）+n=2n+1，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，
∴b_n=a_n-10=2n-11，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（-9+2n-11）}{2}$=n²-10n，
由b_n≥0得n≥$\frac{11}{2}$，
∴当1≤n≤5时，T_n=-（b₁+b₂+…+b_n）=-S_n=-n²+10n；
当n≥6时，T_n=-（b₁+b₂+…+b₅）+b₆+…+b_n
=S_n-2S₅
=n²-10n-2（5²-10×5）
=n²-10n+50；
综上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，}&{1≤n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，}&{n≥6}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）令c_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，则c_n+1-c_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{3-2n}{{2}^{n+1}}$，
∴当n=1时，c₁=$\frac{1}{2}$；
当n=2时，c₂=$\frac{3}{4}$；
当n≥2时，c_n+1＜c_n，．
∴当n=2时，c_n取最大值$\frac{3}{4}$，
又（$\frac{1}{2}$ⁿ）•a_n≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1对一切正整数n恒成立，
∴$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-1≥$\frac{3}{4}$对一切正整数n恒成立，
解得：m≥1或m≤-7．

点评 本题考查数学的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．