Question

10．已知数列{a_n}的通项公式a_n=-n²+13n-$\frac{133}{4}$．当a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值时，n的值为9．

Answer 1

分析 通过配方可知该数列当从第4项至第9项为正数、其余项为负数，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=-n²+13n-$\frac{133}{4}$=-（n-$\frac{13}{2}$）²+9，
∴a_n＞0，等价于$\frac{7}{2}$＜n＜$\frac{19}{2}$，
∴当从第4项至第9项为正数，其余项为负数，
∴当n＞11时，a_na_n+1a_n+2恒小于0，
又∵a₉a₁₀a₁₁＞0＞a₈a₉a₁₀，
∴a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a_na_n+1a_n+2取得最大值时n=9，
故答案为：9．

点评 本题考查数列的前n项的若干项乘积之和取最大值时项数n的求法，解题时要认真审题，注意数列中各项符号的合理运用，属于中档题．