Question

19．已知x，y∈R⁺，满足$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{y}$=1，不等式（x-y）a+2a²-3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意和基本不等式求最值可得t=x-y≤1，题目转化为不等式ta+2a²-3≥0在t∈（-∞，1]上恒成立，分类讨论可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，满足$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{y}$=1，
∴x-y=（x-y）（$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{y}$）
=5-（$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$）≤5-2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=1
当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=2且y=1时取等号，∴t=x-y≤1，
题目转化为不等式ta+2a²-3≥0在t∈（-∞，1]上恒成立．
当a≥0时，显然不成立；当a＜0时，ta+2a²-3≥0恒成立，即ta+2a²-3的最小值≥0，
∴a+2a²-3≥，解得a≤-$\frac{3}{2}$，
∴实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$]
故答案为：（-∞，-$\frac{3}{2}$]

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和分类讨论的思想，属中档题．