Question

设函数
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）-k在[0，π）内恰有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=cos2xcos+sin2xsin-cos2x-1
=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1…3分
∴函数f（x）的最小正周期是T==π，…5分
由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z解得kπ-≤x≤kπ+，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）…7分
（2）∵0≤x＜π，f（x）的最小正周期是π，
∴-1≤sin（2x-）≤1，
∴-2≤f（x）≤0，…9分
又∵函数y=f（x）-k在（0，π）内恰有两个零点，
∴-2＜k＜0，
∴k的取值范围是（-2，0）…12分
分析：（1）将y=cos（2x-）-cos2x-1转化为y=sin（2x-）-1，即可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）依题意可求得-1≤sin（2x-）≤1，从而有-2≤f（x）≤0，继而得-2＜k＜0．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的零点与方程根的关系，考查三角函数的周期性及其求法，考查复合函数的单调性，属于中档题．