Question

设函数f(x)=

x2+bx+c，(-4≤x＜0) -x+3，(x≥0)

，若f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
（1）求函数f（x）的解析式，
（2）画出函数f（x）的图象，并指出函数的定义域和值域．
（3）解不等式xf（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）由f（-4）=f（0）和f（-2）=-1列出关于b、c的两个方程，求出b、c的值；
（2）根据（1）求出的解析式，先画出函数的图象，根据图象写出函数的定义域和值域；
（3）根据（1）求出的解析式，分x≥0和x＜0两种情况，转化成关于x的不等式组，分别求出x的范围，最后求出它们的并集即可．

解答：解：（1）∵f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
∴16-4b+c=3，4-2b+c=-1
解得：b=4，c=3
∴f(x)=

x2+4x+3，-4≤x＜0 -x+3，x≥0

--------------（4分）
（2）图象见右所示，由图象可知：
函数的定义域：[-4，+∞）
值域：（-∞，3]．-----------------------（9分）
（3）xf(x)＜0?

-4≤x＜0 x(x2+4x+3)＜0

或

x≥0 x(-x+3)＜0

．
?-4≤x＜-3或-1＜x＜0或x＞3
∴不等式xf（x）＜0解集为{x|-4≤x＜-3或-1＜x＜0或x＞3}-----（14分）

点评：本题考查了函数的图象以及性质，利用函数值列方程求解析式中的系数，正确作函数的图象后，并且由图写出函数的单调区间，对于分段函数由函数值求自变量一定要分类代入对应的解析式求解．