Question

当p₁，p₂，…，p_n均为正数时，称

n

p1+p2+…+pn

为p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．已知数列{a_n}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为

1

2n+1

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设cn=

an

2n+1

（n∈N^*），试比较c_n+1与c_n的大小；
（3）设函数f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的实数λ，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0恒成立？

Answer 1

分析：（1）利用a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），再写一式，两式相减，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）利用作差法，即可得到c_n+1与c_n的大小；
（3）由（2）知数列 {c_n}是单调递增数列，c₁=1是其的最小项．假设存在最大实数，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

≤0恒成立，即-x2+4x≤

an

2n+1

=cn（n∈N^*），利用右边的最小值，建立不等式，即可得到结论．

解答：解：（1）a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1），两式相减，得a_n=4n-1（n≥2）．
又

1

a1

=

1

2×1+1

，解得 a₁=3=4×1-1，
∴an=4n-1(n∈N+)…（4分）
（2）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=

an+1

2n+3

=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即c_n+1＞c_n．…（8分）
（3）由（2）知数列 {c_n}是单调递增数列，c₁=1是其最小项，即c_n≥c₁=1．…（9分）
假设存在最大实数，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

≤0恒成立，…（11分）
则-x2+4x≤

an

2n+1

=cn（n∈N^*）．
只需-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，解之得x≥2+

3

或 x≤2-

3

．
于是，可取λ=2-

3

…（14分）

点评：本题考查数列的通项，考查大小比较，考查解不等式，确定数列的通项与单调性是关键．