Question

设函数f(x)=

x2+bx+c，(x＜0) -x+3，(x≥0)

，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）画出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的单调区间．
（3）若方程f（x）=k有两个不等的实数根，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

x2+bx+c，(x＜0) -x+3，(x≥0)

，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1，能推导出b=4，c=3．由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=

x2+4x+3，x＜0 -x+3，x≥0

，知：当x＜0时，f（x）的图象是开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，当x≥0时，f（x）的图象是一条直线，由此能求出f（x）的图象．
（3）由方程f（x）=k有两个不等的实数根，知x²+4x+3=k（x＜0）有两个不等的实数根，由此能求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

x2+bx+c，(x＜0) -x+3，(x≥0)

，
且f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
∴

16-4b+c=3 4-2b+c=-1

，解得b=4，c=3．
∴f（x）=

x2+4x+3，x＜0 -x+3，x≥0

．
（2）∵f（x）=

x2+4x+3，x＜0 -x+3，x≥0

，
∴当x＜0时，f（x）的图象是开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，
当x≥0时，f（x）的图象是一条直线．
列表

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	…
f（x）	…	3	0	-1	0	3	2	…

描点，连线，得到f（x）的图象：

（3）∵方程f（x）=k有两个不等的实数根，
∴x²+4x+3=k（x＜0）有两个不等的实数根，
∴

△=16-4(3-k)＞0 x1+x2=-4 x1x2=3-k＞0

，
解得-

4

3

＜k＜3．
故k的取值范围是（-

4

3

，3）．

点评：本题考果函数的解析式的求法，考查函数的图象的作法，考查实数的取值范围的求法．易错点是容易忽视f（x）=k两个根都小于零的情况．