Question

设函数f(x)=

x2-x+n

x2+x+1

(x∈R，x≠

n-1

2

，x∈N*)，f（x）的最小值为a_n，最大值为b_n，记c_n=（1-a_n）（1-b_n）
则数列{c_n}是

常数

数列．（填等比、等差、常数或其他没有规律）

Answer 1

分析：先利用判别式法求出函数的值域，从而求出a_n与b_n，代入c_n=（1-a_n）（1-b_n），然后判定数列{c_n}的规律．

解答：解：令y=f(x)=

x2-x+n

x2+x+1

(x∈R，x≠

n-1

2

，x∈N*)，
则y（x²+x+1）=x²-x+n
整理得：（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0
△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0
解得：

3+2n-2 n2+1

3

≤y≤

3+2n+2 n2+1

3

∴f（x）的最小值为a_n=

3+2n-2 n2+1

3

，最大值为b_n=

3+2n+2 n2+1

3

c_n=（1-a_n）（1-b_n）=-

4

3

∴数列{c_n}是常数数列
故答案为：常数

点评：本题主要考查了分式函数的值域，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．