Question

已知函数f（x）=x²+4x+3，
（1）若g（x）=f（x）+bx为偶函数，求b．
（2）证明：函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的解析式求得g（x）的解析式，再由 g（-x）=g（x），求得b的值．
（2）设x₂＞x₁≥-2，滑简f（x₂）-f（x₁） 等于（x₂-x₁） （x₂+x₁+4）＞0，可得函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²+4x+3，g（x）=f（x）+bx=x²+（4+b）x+3 为偶函数，∴g（-x）=g（x），
即 （-x）²+（4+b）（-x）+3=x²+（4+b）x+3，解得 4+b=0，b=-4．
（2）设x₂＞x₁≥-2，由于f（x₂）-f（x₁）=x22+4x2+3-（x12+4x1+3）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁） （x₂+x₁+4），
由题设可得x₂-x₁＞0，x₂+x₁+4＞0，∴（x₂-x₁） （x₂+x₁+4）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．