Question

14．设F为抛物线y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=（　　）

• A． 10
• B． 6
• C． 12
• D． $7\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标F（$\frac{3}{4}$，0），用点斜式设出直线方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{4}$），与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．

解答 解：根据抛物线y²=3x方程得：焦点坐标F（$\frac{3}{4}$，0），
直线AB的斜率为k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直线方程的点斜式方程，设AB：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{4}$），
将直线方程代入到抛物线方程中，得：$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{4}$）²=3x，
整理得：x²-$\frac{21}{2}$x+$\frac{9}{16}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由一元二次方程根与系数的关系得：x₁+x₂=$\frac{21}{2}$，x₁•x₂=$\frac{9}{16}$，
所以弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{\frac{441}{4}-\frac{9}{4}}$=12．
故选：C．

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于中档题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．