Question

11．根据两角的和差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ②
由①+②得，sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ③
令α+β=A，α-β=B，则$α=\frac{A+B}{2}，β=\frac{A-B}{2}$，代入③得：$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$．
（I）类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：$cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$；
（II）若△ABC的三个内角A、B、C满足cos2A-cos2B=1-cos2C，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （I）写出两角和与差的余弦函数，通过作差，结合已知条件，求解即可．
（II）△ABC为直角三角形，利用二倍角公式以及第一问的结果，化简推出2sin²C=-2sin（A+B）sin（A-B），通过三角形的内角和推出sin（A+B）+sin（A-B）=0，然后求出B为直角．

解答 （本题满分12分）
证明：（I）由cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ        ①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ        ②
①-②得，cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ③…（2分）
令α+β=A，α-β=B，则$α=\frac{A+B}{2}，β=\frac{A-B}{2}$，
代入③得：$cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$．…（5分）
（II）△ABC为直角三角形，证明如下：
由余弦的二倍角公式得，1-cos2C=2sin²C，…（6分）
利用（I）证明的结论可知，cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B），
又已知cos2A-cos2B=1-cos2C，
所以2sin²C=-2sin（A+B）sin（A-B），…（8分）
又A+B+C=π，的以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
则sin（A+B）+sin（A-B）=0，…（10分）
由已知得sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB，即2sinAcosB=0，
因为sinA≠0，所以cosB=0，即$∠B=\frac{π}{2}$，
所以△ABC为直角三角形．…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式以及三角形的判断，考查转化思想以及计算能力．