Question

16．已知A，B，C是圆O上的三点（点O为圆的圆心），若$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为90°．

Answer 1

分析 根据题意，设B、C的中点为E，由向量加法的运算公式有$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，结合题意分析可得O是线段BC的中点，即BC是圆的直径，由于直径所对的圆周角为90°，分析即可得答案．

解答 解：根据题意，设B、C的中点为E，则有$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
又由$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，则有$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$，
则O是线段BC的中点，即BC是圆的直径，
进而有∠A=90°，
则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角即∠A为90°；
故答案为：90°．

点评 本题考查向量加法的性质，关键是分析得到O是BC的中点．