Question

8．设函数f（x）=sinx+cos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，求角B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和与差的公式以及辅助角公式化简，即可求解最小正周期，x在[0，$\frac{π}{2}$]上，求出内层函数范围，结合三角函数的性质可得值域；
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据解析式求出A的大小．a=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，利用正弦定理解角B的大小．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+cos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R．
化简可得：f（x）=sinx+cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}$，
$\frac{1}{2}≤$sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]上f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]；
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即 sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜A$+\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
则A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
可得：A=$\frac{π}{3}$，
∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
可得sinB=1，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化解和性质的性质，正弦定理的计算．属于中档题．