Question

13．在△ABC中，AB=2AC=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1，O是△ABC的外心，若$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，则x₁+x₂的值为$\frac{13}{6}$．

Answer 1

分析 如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，两边分别作数量积运算即可得出．

解答 解：如图所示，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，
∴2=x₁$\overrightarrow{AB}$²+x₂$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AC}$，$\frac{1}{2}$=x₁$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+x₂$\overrightarrow{AC}$²，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1，
化为4x₁-x₂=2，-x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，
解得x₁=$\frac{5}{6}$，x₂=$\frac{4}{3}$．
∴x₁+x₂=$\frac{13}{6}$．
故答案为：$\frac{13}{6}$

点评 本题考查了数量积运算性质、圆的垂经定理、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．