Question

3．设函数f（x）在R上连续可导，对任意x∈R，有f（-x）+f（x）=cos2x，当x∈（0，+∞）时，f（x）+sin2x＞0，若f（m）-f（$\frac{π}{2}$-m）-cos2m＞0，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{π}{4}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{π}{4}$）
• C． （0，$\frac{π}{4}$）
• D． （-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$cos2x，判断g（x）为奇函数；
再由x∈（0，+∞）时g′（x）=f′（x）+sin2x＞0判断g（x）的单调性，
把f（m）-f（$\frac{π}{2}$-m）-cos2m＞0化为g（m）-g（$\frac{π}{2}$-m）＞0，
从而求出m的取值范围．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$cos2x，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$cos2x+f（x）-$\frac{1}{2}$cos2x=0，
∴函数g（x）为奇函数；
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）+sin2x＞0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴函数g（x）在（-∞，0）上也是增函数，
由f（0）=$\frac{1}{2}$，可得g（x）在R上是增函数；
又f（m）-f（$\frac{π}{2}$-m）-cos2m
=[f（m）-$\frac{1}{2}$cos2m]-[f（$\frac{π}{2}$-m）-$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{2}$-m）]-$\frac{1}{2}$cos2m-$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{2}$-m）
=g（m）-g（$\frac{π}{2}$-m）＞0，
得g（m）＞g（$\frac{π}{2}$-m），
∴m＞$\frac{π}{2}$-m，
解得：m＞$\frac{π}{4}$；
∴m的取值范围是（$\frac{π}{4}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查了导数的综合应用以及函数的奇偶性、单调性的应用问题，是难题．