Question

14．在等差数列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22，
（Ⅰ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？
（Ⅱ）求数列{|a_n|}前n项和．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a_n=-3n+53，由此能求出{a_n}前17项和最大，并能求出其最大值．
（2）当n≤17，n∈N^*时，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n，当n≥18，n∈N^*时，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n=2（a₁+a₂+…+a₁₇）-（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884，由此能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=23}\\{{a}_{1}+24d=-22}\end{array}\right.$，解得a₁=50，d=-3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-3n+53，…（3分）
令a_n＞0，得n＜$\frac{53}{3}$，
∴当n≤17，n∈N^*时，a_n＞0；当n≥18，n∈N^*时，a_n＜0，
∴{a_n}前17项和最大．…（5分），
∴S_max=S₁₇=17×50+17×8×（-3）=442…．（6分）
（2）当n≤17，n∈N^*时，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n，
∴当n≤17，n∈N^*时，{|a_n|}前n项和为-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n，…．（9分）
当n≥18，n∈N^*时，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n=2（a₁+a₂+…+a₁₇）-
（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884，
当n≥18，n∈N^*时，{|a_n|}前n项和为$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884…..…（12分）

点评 本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查数列的前n项的绝对值的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．