Question

19．已知向量，$\overrightarrow{a}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}sinx$，cos2x），x∈R设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（X）的单调增区间
（Ⅲ）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量数量积求出函数f（x），化为正弦型函数，求出它的最小正周期；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象与性质求出f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）根据正弦函数的图象与性质求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]内的最大最小值．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}sinx$，cos2x），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（Ⅲ）x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
∴x=$\frac{π}{2}$时，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]内取得最小值-$\frac{1}{2}$；
x=$\frac{π}{6}$时，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]内取得最大值1．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是中档题．