Question

7．如图，已知AB⊥平面BCE，CD||AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（2）求二面角A-DE-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF，可得四边形CFGD是平行四边形，则CD∥GD，CF∥DG．由CF⊥BF，CF⊥AB，根据线面垂直判定定理可得CF⊥平面ABE，结合（I）中CF∥DG，可得DG⊥平面ABE，结合面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面ADE；
（2）过G作GM⊥DE，连接BM，我们可以得到∠BMG为二面角A-DE-B的平面角，解三角形BMG即可求出二面角A-DE-B的正切值．

解答 解：（1）当F为BE的中点时，CF∥平面ADE…（1分）
证明：取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF，
∴GF=$\frac{1}{2}$AB，GF∥AB
又∵DC=$\frac{1}{2}$AB，CD∥AB，∴CD∥GF，CD=GF
∴CFGD是平行四边形，∴CF∥GD
∴CF∥平面ADE
∵CF⊥BF，CF⊥AB，∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE
∵DG?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ADE
（2）∵AB=BE，∴AE⊥BG，∴BG⊥平面ADE
过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE
则∠BMG为二面角A-DE-B的平面角…（9分）
设AB=BC=2CD=2，则BG=$\sqrt{2}$，GE=$\sqrt{2}$
在Rt△DCE中，CD=1，CE=2，∴DE=$\sqrt{5}$
又DG=CF=$\sqrt{3}$
由DE•GM=DG•EG得GM=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
∴tan∠BMG═$\frac{BG}{GM}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
∴二面角A-DE-B的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法，属于中档题