Question

17．在（a+b+c+d）¹⁰的展开式中，有（　　）个不同的项．

• A． $C_{13}^3$
• B． $C_{10}^4$
• C． $C_{14}^4$
• D． $C_{10}^1C_9^1C_8^1C_7^1$

Answer 1

分析 通项如Maⁱb^jc^kd^l，其中i，j，k，l为自然数．i+j+k+l=10，可得：（i+1）+（j+1）+（k+1）+（l+1）=14．因此问题转化为要求x+y+z+t=14的正整数解的个数．转化为：有14个球，13个空隙，在这些空隙中插入三个挡板，每一种插板的方式对应一组正整数解，反之，一组正整数解对应一种插板的方式，即可得出．

解答 解：通项如Maⁱb^jc^kd^l，其中i，j，k，l为自然数．i+j+k+l=10，可得：（i+1）+（j+1）+（k+1）+（l+1）=14．因此问题转化为要求x+y+z+t=14的正整数解的个数．
转化为：有14个球，13个空隙，在这些空隙中插入三个挡板，每一种插板的方式对应一组正整数解，反之，一组正整数解对应一种插板的方式，因此共有${∁}_{13}^{3}$ 种．
故选：A．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用、排列组合的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．