Question

9．已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（3，1），B（-1，2）．
（I）求$\overrightarrow{AB}$的坐标及$|\overrightarrow{AB}|$；
（II）设$\overrightarrow e$为单位向量，且$\overrightarrow e$$⊥\overrightarrow{OB}$，求$\overrightarrow e$的坐标．

Answer 1

分析 （I）利用向量的坐标运算直接求$\overrightarrow{AB}$的坐标及$|\overrightarrow{AB}|$；
（II）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可．

解答 （本题满分10分）
解：（I）$\overrightarrow{AB}=（-1-3，2-1）=（-4，1）$，$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{{{（-4）}^2}+{1^2}}=\sqrt{17}$；…（4分）
（II）设单位向量$\overrightarrow{e}$=（x，y），
所以$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=1$，即x²+y²=1，…（5分）
又$\overrightarrow e$$⊥\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OB}=（-1，2）$，
所以-x+2y=0，即x=2y，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=2y\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ y=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ y=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$，…（9分）
所以$\overrightarrow e=（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$，或$\overrightarrow e=（-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$．…（10分）

点评 本题考查向量的坐标运算，向量的垂直，考查计算能力．