Question

19．若函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-2，1]上的最大值为4，最小值为m，且函数$g（x）=（1-4m）\sqrt{x}$在[0，+∞）上是减函数，则a的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由函数$g（x）=（1-4m）\sqrt{x}$在[0，+∞）上是减函数，确定m的范围，函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-2，1]上的最大值为4，最小值为m，讨论底数a，求最值，求出满足题意的a的值．

解答 解：由题意，函数$g（x）=（1-4m）\sqrt{x}$在[0，+∞）上是减函数，
则1-4m＜0，
∴m＞$\frac{1}{4}$
又∵函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-2，1]上的最大值为4，最小值为m，
当a＞1时，f（x）是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{-2}=m}\\{a=4}\end{array}\right.$，可得m=$\frac{1}{16}$，不满足题意．
当1＞a＞0时，f（x）是减函数，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{-2}=4}\\{a=m}\end{array}\right.$，可得m=a=$\frac{1}{2}$，满足题意．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了指数函数单调性的讨论和运用．属于基础题．