Question

18．设定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，则f（2017）的值为（　　）

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2017

Answer 1

分析 令x=-1，得f（0）=$\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，令x=0，得f（1）=$\frac{1}{2}+\sqrt{1-{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，令x=1，得f（2）=$\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，由此利用函数的周期性能求出结果．

解答 解：∵定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，且$f（-1）=\frac{1}{2}$，
∴令x=-1，得f（0）=$\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，
令x=0，得f（1）=$\frac{1}{2}+\sqrt{1-{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
令x=1，得f（2）=$\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，
…
∴f（2017）=f（1）=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．