Question

1．已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且$\overline z•（3+i）$为纯虚数（$\overline z$是z的共轭复数）．
（Ⅰ）设复数${z_1}=\frac{m+2i}{1-i}$，求|z₁|；
（Ⅱ）设复数${z_2}=\frac{{a-{i^{2017}}}}{z}$，且复数z₂所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由已知列式求出m值．
（Ⅰ）把m值代入${z_1}=\frac{m+2i}{1-i}$，直接利用复数模的计算公式求解；
（Ⅱ）把z代入${z_2}=\frac{{a-{i^{2017}}}}{z}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解．

解答 解：∵z=1+mi，∴$\overline z=1-mi$．
∴$\overline z•（3+i）=（1-mi）（3+i）=（3+m）+（1-3m）i$．
又∵$\overline z•（3+i）$为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}3+m=0\\ 1-3m≠0.\end{array}\right.$，解得m=-3．
∴z=1-3i．
（Ⅰ）${z_1}=\frac{-3+2i}{1-i}=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i$，
∴$|{z_1}|=\sqrt{{{（-\frac{5}{2}）}^2}+{{（-\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{26}}}{2}$；
（Ⅱ）∵z=1-3i，
∴${z_2}=\frac{a-i}{1-3i}=\frac{（a-i）（1+3i）}{（1-3i）（1+3i）}=\frac{（a+3）+（3a-1）i}{10}$．
又∵复数z₂所对应的点在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{a+3}{10}＞0\\ \frac{3a-1}{10}＜0.\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a＞-3\\ a＜\frac{1}{3}.\end{array}\right.$．
∴$-3＜a＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是中档题．