Question

13．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，AA₁⊥平面ABC，AB=4，AA₁=6．点E，F分别是棱BB₁，CC₁上的点，则三棱锥A-A₁EF的体积为8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由${V}_{A-{A}_{1}EF}={V}_{E-{A}_{1}AF}$，能求出三棱锥A-A₁EF的体积．

解答 解：∵${V}_{A-{A}_{1}EF}={V}_{E-{A}_{1}AF}$，过B₁作B₁D⊥A₁C₁，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴B₁D⊥A₁A，即B₁D⊥面AA₁C₁C，
在△A₁B₁C₁中，B₁D=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵B₁B∥面A₁ACC₁，
∴E点到面AA₁C₁C的距离等于B₁到面AA₁C₁C的距离，
∴三棱锥A-A₁EF的体积：
${V}_{A-{A}_{1}EF}={V}_{E-{A}_{1}AF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×4×2\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案为：8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．