Question

【题目】某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成绩（满分150分），将数据分成9组：，，，，，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．用统计的方法得到样本标准差，以频率值作为概率估计值．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分及众数；

（Ⅱ）用频率估计概率，从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个，记理科数学成绩位于区间内的个数为，求的分布列及数学期望；

（Ⅲ）从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份，记其成绩为，依据以下不等式评判（表示对应事件的概率）：

①，②，

③，其中．

评判规则：若至少满足以上两个不等式，则给予这套试卷好评，否则差评．试问：这套试卷得到好评还是差评？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均分，众数；（Ⅱ）分布列详见解析，；（Ⅲ）得到好评．

【解析】

（Ⅰ）利用频率分布直方图估计平均数和众数的方法可直接求得结果；

（Ⅱ）根据频率分布直方图计算可知理科数学成绩位于内的概率为，则，由此计算出的每个取值对应的概率，由此得到分布列；由二项分布数学期望计算公式计算可得；

（Ⅲ）计算每个区间取值所对应的概率与原则所对应的概率之间的大小关系，从而得到结论.

（Ⅰ）；

众数：；

（Ⅱ）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理科数学成绩中随机抽取个，理科数学成绩位于内的概率为，则随机变量服从二项分布，故．

由题意知：所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望；

（Ⅲ）记该市高三考生的理科数学成绩为，由（Ⅰ）可知，，又，

则，，，

，，，

，

，

，

符合②③，不符合①，这套试卷得到好评．