Question

10．已知函数f（x）=lnx，
（1）若f（x）≥$\frac{t}{x}$-lnx （t为实数）恒成立，求t的取值范围；
（2）当m＞0时，讨论F（x）=f（x）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{m}^{2}+1}{m}$x在区间（0，2）上极值点的个数．

Answer 1

分析 （1）不等式要恒成立，即要当x大于0时，t小于等于一个关系式，设这个关系式为一个函数h（x），求出h（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数h（x）的单调区间，根据函数的增减性得到h（x）的最小值，进而得到t的取值范围；
（2）求出F（x）的导函数，令导函数等于0，得到x+$\frac{1}{x}$等于一个关系式，设y=x+$\frac{1}{x}$，且x大于0小于2，画出该函数的图象，如图所示，然后分m=1，m大于$\frac{1}{2}$小于2，m大于0小于等于$\frac{1}{2}$和m大于等于2，四种情况，根据函数的图象，即可得到相应区间上极值点的个数．

解答 解：（1）若f（x）≥$\frac{t}{x}$-lnx （t为实数）恒成立，
因为x＞0，
所以只需要t≤2xlnx在（0，+∞）恒成立即可，
令h（x）=2xlnx，则h′（x）=2（1+lnx），
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是减函数，
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，h′（x）＞0，
所以h（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是增函数，
所以h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$，
所以t≤-$\frac{2}{e}$；
（2）由已知得F（x）=lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{m}^{2}+1}{m}$x，
所以F′（x）=$\frac{1}{x}$+x-$\frac{{m}^{2}+1}{m}$，
令F′（x）=0，得到$\frac{1}{x}$+x=$\frac{{m}^{2}+1}{m}$，
令y=x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，2），
画出该函数的图象，如图所示：

①当 $\frac{{m}^{2}+1}{m}$=2，即m=1时，F′（x）=0在区间（0，2）上只有一个根1，
此时F（x）在（0，2）上无极值点；
②当2＜$\frac{{m}^{2}+1}{m}$＜$\frac{5}{2}$，即$\frac{1}{2}$＜m＜2，且m≠1时，F′（x）=0在区间（0，2）上有两个不等根，
不妨设为x₁，x₂，且x₁＜x₂，从图象上看在x₁和x₂两侧F′（x）都是异号的，
因此x₁和x₂都是F（x）的极值点，此时F（x）在（0，2）上有两个极值点；
③当 $\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜2}\\{\frac{1}{m}≥2}\end{array}\right.$，即0＜m≤$\frac{1}{2}$时，方程在区间（0，2）上只有一个根m，
由该方程所对应的二次函数图象可知，F′（x）在m两侧的符号不同，
因此函数F（x）在区间（0，2）上只有一个极值点；
④当 $\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{1}{m}＜2}\\{m≥2}\end{array}\right.$，即m≥2时，方程在区间（0，2）上只有一个根$\frac{1}{m}$，
由该方程所对应的二次函数图象可知，F′（x）在$\frac{1}{m}$两侧的符号不同，
因而函数F（x）在区间（0，2）上只有一个极值点，
综上，当m=1时，函数F（x）在区间（0，2）上无极值点；
当m∈（0，$\frac{1}{2}$）∪[2，+∞）时，函数F（x）在区间（0，2）上有一个极值点；
当m∈（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2）时，函数F（x）在区间（0，2）上有两个极值点．

点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了分类讨论和数形结合的数学思想，是一道综合题．