Question

15．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₂=3，S₄=16，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}={a_1}+d=3\\{S_4}=4{a_1}+6d=16\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
故数列{a_n}的通项公式${a_n}=1+2（n-1）=2n-1（n∈{N^*}）$；
（2）由（1）得${b_n}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
即有${T_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}（n∈{N^*}）$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．