Question

20．在平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=a|PB（a＞0
）．
（1）试讨论动点P的轨迹C；
（2）当a=$\sqrt{2}$时，直线y=x+b与轨迹C交于两点M，N，若以线段MN为直径的圆恰好过坐标原点O，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，从而化简即可；
（2）由题意知轨迹C的方程为x²+y²-6x+1=0，从而联立方程化简2x²+（2b-6）x+b²+1=0，从而结合$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0解得．

解答 解：（1）由题意得，
$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，（a＞0）
即（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0，
当a²=1，即a=1时，方程为x=0，故轨迹C为y轴；
当a²≠1，即a＞0且a≠1时，
方程可变形为
（x-$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$）²+y²=$\frac{4{a}^{2}}{（{a}^{2}-1）^{2}}$，
故轨迹C为以（$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$，0）为圆心，$\frac{2a}{|{a}^{2}-1|}$为半径的圆．
（2）由题意知轨迹C的方程为x²+y²-6x+1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+1=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$得，
2x²+（2b-6）x+b²+1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2b-6）^{2}-8（{b}^{2}+1）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=3-b}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}+1}{2}}\end{array}\right.$，
∴-7＜b＜1，
∵以线段MN为直径的圆恰好过坐标原点O，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
故2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
即b²+1+b（3-b）+b²=0，
即b²+3b+1=0，
故b=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$或b=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的数量积的运算及应用．