Question

5．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a、b、c，且sin²B=sin²A+sin²C-sinAsinC．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$及a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得b²=a²+c²-ac，整体代入余弦定理可得cosB，可得B；
（2）由题意和三角形的面积公式可得ac，进而可得数量积，再由余弦定理整体可解a+c．

解答 解：（1）在△ABC中，∵在三角形ABC中sin²B=sin²A+sin²C-sinAsinC，
∴由正弦定理可得b²=a²+c²-ac，∴a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴ac=2，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=2×$\frac{1}{2}$=1，
再由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac，
∴（a+c）²=b²+3ac=9，∴a+c=3

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和向量的运算，属中档题．