Question

16．已知函数f（x）=sinx（x∈R），则下列四个说法：
①函数g（x）=$\frac{{f}^{2}（x）-f（x）}{f（x）-1}$是奇函数；
②函数f（x）满足：对任意x₁，x₂∈[0，π]且x₁≠x₂都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]；
③若关于x的不等式f²（x）-f（x）+a≤0在R上有解，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]；
④若关于x的方程3-2cos²x=f（x）-a在[0，π]恰有4个不相等的解x₁，x₂，x₃，x₄；则实数a的取值范围是[-1，-$\frac{7}{8}$），且x₁+x₂+x₃+x₄=2π；
其中说法正确的序号是③④．

Answer 1

分析 ①求出函数g（x）的定义域，由定义域不关于原点对称判断函数为非奇非偶函数；
②利用三角函数的和差化积判断；
③利用换元法，把不等式转化为一元二次不等式求解；
④利用换元法，把函数转化为一元二次函数进行零点判断．

解答 解：对于①，由f（x）-1≠，得f（x）≠1，∴sinx≠1，即$x≠\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
则函数g（x）=$\frac{{f}^{2}（x）-f（x）}{f（x）-1}$的定义域为{x|$x≠\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$}，函数为非奇非偶函数，故①错误；
对于②，对任意x₁，x₂∈[0，π]且x₁≠x₂，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=sin$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（sin{x}_{1}+sin{x}_{2}）$=$\frac{1}{2}•2sin\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}cos\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$≤sin$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，故＜②错误；
对于③，令f（x）=sinx=t（-1≤t≤1），
关于x的不等式f²（x）-f（x）+a≤0在R上有解，即t²-t+a≤0在[-1，1]上有解，
则$（\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+a≤0$，即a$≤\frac{1}{4}$，∴实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]，故③正确；
对于④，关于x的方程3-2cos²x=f（x）-a在[0，π]恰有4个不相等的解x₁，x₂，x₃，x₄，
即2sin²x-sinx+1+a=0在[0，π]恰有4个不相等的解x₁，x₂，x₃，x₄，
∵x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，设t=sinx，则t∈[0，1]，2t²-t+1+a=0．
由于[0，1）内的一个t值对应了[0，π]内的2个x值，
则由题意可得，关于t的方程f（t）=2t²-t+1+a=0在[0，1）上有两个不等根．
则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1+a≥0}\\{f（\frac{1}{4}）=2×（\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}+1+a＜0}\end{array}\right.$，解得-1$≤a＜-\frac{7}{8}$，此时x₁+x₂+x₃+x₄=2π，故④正确．
∴正确的命题是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了与正弦函数有关的复合函数的性质判断，考查了复合函数的零点判断，是中档题．