Question

6．设命题p：实数x满足x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0，其中a＞1；命题q：实数x满足x²-4x+3≤0．
（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p：实数x满足x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0，其中a＞1，解得$\frac{1}{a}＜x＜a$，由a=2，可得$\frac{1}{2}＜x＜2$；命题q：实数x满足x²-4x+3≤0，解得x范围．利用p∧q为真即可得出．
（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=$（\frac{1}{a}，a）$，B=[1，3]，则B?A，即可得出．

解答 解：（1）命题p：实数x满足x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1＜0，其中a＞1，化为$（x-a）（x-\frac{1}{a}）$＜0，解得$\frac{1}{a}＜x＜a$，∵a=2，∴$\frac{1}{2}＜x＜2$；
命题q：实数x满足x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3．
∵p∧q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜2}\\{1≤x≤3}\end{array}\right.$，解得1≤x＜2．
∴实数x的取值范围是1≤x＜2．
（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=$（\frac{1}{a}，a）$，B=[1，3]，
则B?A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}＜1}\\{3＜a}\end{array}\right.$，解得3＜a．
∴实数a的取值范围是3＜a．

点评 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．