Question

17．已知数列{a_n}，a₁=a（a∈R），a_n+1=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}从第二项起每一项都大于1，求实数a的取值范围；
（2）若a=-3，记S_n是数列{a_n}的前n项和，证明：S_n＜n+$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得当n≥2时，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$=2-$\frac{3}{{a}_{n}+2}$＞2-$\frac{3}{1+2}$=1，所以只需a₂=$\frac{2a+1}{a+1}$＞1，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得当n≥4时，a_n-1＜（a₃-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-3，即有a_n＜1+（a₃-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-3=1+$\frac{4}{7}$•（$\frac{1}{3}$）^n-3，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，可得S_n＜n+$\frac{6}{7}$；再验证n=1，2，3也成立．

解答 解：（1）数列{a_n}从第二项起每一项都大于1，可得
当n≥2时，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$=2-$\frac{3}{{a}_{n}+2}$＞2-$\frac{3}{1+2}$=1，
所以只需a₂=$\frac{2a+1}{a+1}$＞1，解得a＞1或a＜-2：
（2）证明：由（1）可得，当n≥2时，a_n+1-1=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$-1
=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$＜$\frac{{a}_{n}-1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$（a_n-1），
即有当n≥4时，a_n-1＜（a₃-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-3，
即有a_n＜1+（a₃-1）•（$\frac{1}{3}$）^n-3=1+$\frac{4}{7}$•（$\frac{1}{3}$）^n-3，
此时S_n＜-3+5+（1+$\frac{4}{7}$）+[1+$\frac{4}{7}$•（$\frac{1}{3}$）]+…+[1+$\frac{4}{7}$•（$\frac{1}{3}$）^n-3]
=n+$\frac{\frac{4}{7}（1-\frac{1}{{3}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{3}}$=n+$\frac{6}{7}$[1-（$\frac{1}{3}$）^n-2]＜n+$\frac{6}{7}$，
易证，当n=1，2，3，S_n＜n+$\frac{6}{7}$成立．
综上可得，对任意的正整数n，均有S_n＜n+$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查已知数列的通项的特点，求参数的范围，注意运用不等式的性质，同时考查等比数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．