Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=$\frac{{（{n+1}）}}{2}{a_n}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，求数列$\left\{{\frac{S_n}{b_n}}\right\}$的最大项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将n换为n+1，两式相减，可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}$=1，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）由n换为n-1，可得${b_n}={2^{n-1}}$，令$f（n）=\frac{S_n}{b_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，求得f（n+1）-f（n），即可判断f（n）的单调性，进而得到所求最大项．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{{（{n+1}）}}{2}{a_n}$，得${S_{n+1}}=\frac{{（{n+2}）}}{2}{a_{n+1}}$，
所以${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{{（{n+2}）}}{2}{a_{n+1}}-\frac{{（{n+1}）}}{2}{a_n}$，
所以$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}$=1，
故$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是常数列．                 
所以a_n=n；
（Ⅱ）一方面，由${a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+…+{a_n}{b_n}=（{n-1}）•{2^n}+1$知，
当n≥2时$n{b_n}=（{n-1}）•{2^n}-（{n-2}）•{2^{n-1}}=n•{2^{n-1}}$，解得${b_n}={2^{n-1}}$，
而a₁•b₁=1，所以b₁=1，适合上式．
故对n∈N*有${b_n}={2^{n-1}}$；
另一方面，令$f（n）=\frac{S_n}{b_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，
则$f（{n+1}）-f（n）=\frac{{{{（{n+1}）}^2}+（{n+1}）}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{{-{n^2}+n+2}}{{{2^{n+1}}}}$，
所以f（3）=f（2）＞f（1），且f（3）＞f（4）＞f（5）＞…＞f（n）＞…
故数列$\left\{{\frac{S_n}{b_n}}\right\}$的最大项为f（2）或f（3），即为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相减法，考查数列的最大项的求法，注意运用作差法判断数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．