Question

3．已知关于x的方程x²+ax+2b-2=0（a，b∈R）有两个相异实根，若其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则$\frac{b-4}{a-1}$的取值范围是$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 由题意知$\left\{\begin{array}{l}{2b-2＞0}\\{1+a+2b-2＜0}\\{4+2a+2b-2＞0}\end{array}\right.$，从而转化为线性规划问题求解即可．

解答 解：令f（x）=x²+ax+2b-2，
由题意知，
$\left\{\begin{array}{l}{2b-2＞0}\\{1+a+2b-2＜0}\\{4+2a+2b-2＞0}\end{array}\right.$，
作其表示的平面区域如下，
，
$\frac{b-4}{a-1}$的几何意义是点A（1，4）与阴影内的点的连线的斜率，
直线m过点B（-3，2），故k_m=$\frac{2-4}{-3-1}$=$\frac{1}{2}$；
直线l过点C（-1，1），故k_l=$\frac{1-4}{-1-1}$=$\frac{3}{2}$；
结合图象可知，
$\frac{b-4}{a-1}$的取值范围是$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$；
故答案为：$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$．

点评 本题考查了二次函数与二次方程的关系应用及线性规划的变形应用．