Question

13．已知函数f（x）=sin（x-α）+2cosx，（其中α为常数），给出下列五个命题：
①存在α，使函数f（x）为偶函数；
②存在α，使函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的最小值为-3；
④若函数f（x）的最大值为h（α），则h（α）的最大值为3；
⑤当α=$\frac{π}{6}$时，（-$\frac{π}{3}$，0）是函数f（x）的一个对称中心．
其中正确的命题序号为①④⑤（把所有正确命题的选号都填上）

Answer 1

分析 推导出f（x）=5-4sinαsin（x+θ），对于①，当α=kπ+π2（k∈Z），f（x）=cosx或3cosx，则为偶函数；对于②，f（x）不为奇函数；对于③，f（x）的最小值为-5-4sinα；对于④，f（x）的最大值为h（α）=5-4sinα，h（α）的最大值为3；对于⑤，（-$\frac{π}{3}$，0）是函数f（x）的一个对称中心．

解答 解：函数f（x）=sin（x-α）+2cosx=sinxcosα+cosx（2-sinα）
=cos2α+（2-sinα）2sin（x+θ）（θ为辅助角）
=5-4sinαsin（x+θ）．
对于①，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），当α=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），cosα=0，sinα=±1，
f（x）=cosx或3cosx，则为偶函数．则①对；
对于②，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），可得2-sinα∈[1，3]，即cosx的系数不可能为0，
则f（x）不为奇函数，则②错；
对于③，f（x）的最小值为-5-4sinα，则③错；
对于④，f（x）的最大值为h（α）=5-4sinα，当sinα=-1时，h（α）的最大值为3，则④对；
对于⑤，当α=$\frac{π}{6}$时，f（x）=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosx（2-sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=3sin（x+$\frac{π}{3}$），
当x=-$\frac{π}{3}$，f（x）=3sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0，即有（-$\frac{π}{3}$，0）是函数f（x）的一个对称中心，则⑤对．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．