Question

1．将函数y=msinx（其中m≠0）的图象上的所有点向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上所有点的横坐标压缩到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标保持不变，得到了函数y=f（x）的图象．
（1）写出函数f（x）的表达式；
（2）当m=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的最小正周期及对称中心；
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数f（x）的最大值为2，试求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由调件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数f（x）的表达式．
（2）由条件利用正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，得出结论．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最小值．

解答 解：（1）把函数y=msinx（其中m≠0）的图象上的所有点向左平移$\frac{π}{6}$个单位，
可得y=msin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标压缩到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标保持不变，
得到了函数y=f（x）=msin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，故f（x）=msin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）当m=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
函数f（x）=msin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值为|m|=2，∴m=±2．
若m=2，函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最小值为f（-$\frac{π}{6}$）=2•（-$\frac{1}{2}$）=-1；
若m=-2，函数f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最小值为f（$\frac{π}{6}$）=-2•1=-2．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性以及定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．