Question

12．已知函数f（x）=2acos²ωx+2sinωxcosωx．（ω＞0）
（1）若f（x）的最大值为$\sqrt{2}-1$，求实数a的值．
（2）在条件（1）下，把f（x）图象上的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得函数y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{4}$）-1的图象，求ω的值；
（3）若$ω=\frac{1}{2}$，图象关于直线x=$\frac{5}{3}$π对称，求函数y=cosx+asinx的对称轴．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和辅助角公式化简f（x），根据最值列出方程，解出a；
（2）根据函数图象的变换规律得出变换之后的函数解析式，由x的系数对应相等得出ω；
（3）利用辅助角公式化简y=cosx+asinx，得出f（x）中的辅助角与新函数辅助角的关系，利用诱导公式得出新函数的对称中心，结合周期得到对称轴方程．

解答 解：（1）f（x）=a（1+cos2ωx）+sin2ωx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2ωx+φ）+a，
∴f_max（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$+a=$\sqrt{2}-1$，∴a=-1．
（2）由（1）得f（x）=sin2ωx-cos2ωx-1=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）-1．
∴把f（x）图象上的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变得到y=$\sqrt{2}$sin[2ω•$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{4}$]-1=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2}{3}$ωx-$\frac{π}{4}$）-1．
∴$\frac{2ω}{3}$=$\frac{2}{3}$，ω=1．
（3）当ω=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+φ）+a，（sinφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$），∴f（x）的周期为2π．
∵图象关于直线x=$\frac{5}{3}$π对称，∴sin（$\frac{5π}{3}+$φ）=±1．∴sin（φ-$\frac{π}{3}$）=±1，∴cos（$\frac{π}{3}-$φ）=0．
∵y=cosx+asinx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+α），（cosα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，sinα=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$）．
∴α+φ=$\frac{π}{2}$，∴y=cosx+asinx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+α）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+$\frac{π}{2}$-φ）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$cos（x-φ）．
∵cos（$\frac{π}{3}-$φ）=0．∴（$\frac{π}{3}$，0）是y=cosx+asinx的一个对称中心，
又∵y=cosx+asinx的周期为2π，∴y=cosx+asinx的对称轴为x=$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$+kπ=$\frac{5π}{6}$+kπ．k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，辅助角公式的应用，正弦函数的性质，三角函数的图象变换，属于中档题．