Question

17．已知函数f（x）=ax-$\frac{3}{2}$x²（x∈R），数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）当a=2时，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，且S₂=$\frac{9}{8}$，求a₁、a₂；
（2）当a=1时，数列{b_n}满足b_n+1=f（b_n），0＜b₁＜$\frac{1}{2}$，证明b_n＜$\frac{1}{n+1}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）a=2时，a_n+1=f（a_n）=2a_n-$\frac{3}{2}{a}_{n}^{2}$，且S₂=$\frac{9}{8}$，取n=1即可得出．
（2）当a=1时，数列{b_n}满足b_n+1=f（b_n），可得b_n+1=b_n-$\frac{3}{2}{b}_{n}^{2}$=$-\frac{3}{2}（{b}_{n}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$．利用数学归纳法与二次函数的单调性即可证明．

解答 （1）解：a=2时，a_n+1=f（a_n）=2a_n-$\frac{3}{2}{a}_{n}^{2}$，且S₂=$\frac{9}{8}$，
∴a₂=$2{a}_{1}-\frac{3}{2}{a}_{1}^{2}$，a₁+a₂=$\frac{9}{8}$，
解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{3}{2}$，或a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{1}{2}$．
（2）证明：当a=1时，数列{b_n}满足b_n+1=f（b_n），
∴b_n+1=b_n-$\frac{3}{2}{b}_{n}^{2}$=$-\frac{3}{2}（{b}_{n}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，∵0＜b₁＜$\frac{1}{2}$，∴b₁$＜\frac{1}{1+1}$，成立．
当n=2时，b₂=-$\frac{3}{2}（{b}_{1}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{3}$，成立．
②假设当n=k∈N^*（k≥2）时，b_k＜$\frac{1}{k+1}$．
则当n=k+1时，b_k+1=$-\frac{3}{2}（{b}_{k}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$＜$-\frac{3}{2}$$（\frac{1}{k+1}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{k+1}$$（1-\frac{3}{2k+2}）$＜$\frac{1}{k+2}$，
∴当n=k+1时也成立．
综上可得：?n∈N^*，b_n＜$\frac{1}{n+1}$，成立．

点评 本题考查了数列递推关系、数学归纳法、二次函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．