Question

2．如图．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=$\frac{1}{2}$CD，M是的CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（I）求证：AB⊥PN．
（Ⅱ）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．

Answer 1

分析 （1）连结AM，则可证△BCM为等边三角形，从而PN⊥BM，由面面垂直得出PN⊥平面ABMD，故而PN⊥AB；
（2）连结PC，由中位线定理得EN∥PC，故而EN∥平面PDM．

解答 证明：（1）连结AM，
∵M是的CD的中点，AB=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，
∴四边形ABCM是平行四边形，四边形ABMD是平行四边形，
∴N是BM的中点，BM=AD，又∵AD=BC，
∴△BCM是等边三角形，即△PBM是等边三角形．
∴PN⊥BM，∵平面PBM⊥平面ABMD，平面PBM∩平面ABMD=BM，PN?平面PBM，
∴PN⊥平面ABMD，∵AB?平面ABMD，
∴AB⊥PN．
（2）连结PC，∵E是PA的中点，N是AC的中点，
∴EN∥PC，
∵PC?平面PDM，EN?平面PDM，
∴EN∥平面PDM．

点评 本题考查了线面垂直的判断与性质，线面平行的判定，面面垂直的性质，属于中档题．