Question

10．解不等式$\sqrt{|1-x|}$＞kx．

Answer 1

分析 根据题意分类讨论即可求出．

解答 解：①当k＜0时，则x＞0，即不等式的解集为{x|x＞0}，
②当k=0时，x≠1，即不等式的解集为{x|x≠1}，
③当k＞0时，则x＜0，即不等式的解集为{x|x＜0}，
④当k＞0，x＞0时，
则|1-x|＞k²x²，
1°当x≥1时，即x-1＞k²x²，即k²x²-x+1＜0，
当△＜0时，即1-4k²＜0时，即k＞$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为空集，
当△≥0时，即1-4k²≥0时，即0＜k≤$\frac{1}{2}$时，则$\frac{1-\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，因为$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＞1，
即不等式的解集为{x|1≤x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}，
2°当0＜x＜1时，即1-x＞k²x²，即k²x²+x-1＜0，
△=1+4k²＞0时，则$\frac{-1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜1，即不等式的解集为{x|0＜x＜$\frac{-1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}，
⑤当k＜0，x＜0时，即1-x＞k²x²，即k²x²+x-1＜0，
△=1+4k²＞0时，则$\frac{-1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，即不等式的解集为{x|$\frac{-1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$＜x＜0}．
⑥当x=0时，不等式对于k取任何数都成立，
综上所述，当k＜0时，不等式的解集为{x|x＞$\frac{-1-\sqrt{1+4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}．
当k=0时，不等式的解集为{x|x≠1}，
当0＜k≤$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为{x|x|1≤x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$}，
当k＞$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为{x|x=0}．

点评 本题考查了不等式的解法，关键是分类讨论，属于中档题．