Question

20．数列{a_n}前n项和S_n=3ⁿ-1，
（1）试写出数列的前4项，
（2）数列{a_n}是等比数列吗？
（3）求出数列的通项公式．

Answer 1

分析 （1）在数列的前n项和公式中，分别取n=1，2，3，4，结合a_n=S_n-S_n-1求得数列的前4项；
（2）求出数列的通项公式，由等比数列的定义证明数列是等比数列；
（3）直接由（2）得答案．

解答 解：（1）由S_n=3ⁿ-1，
得a₁=S₁=2，a₂=S₂-S₁=6，a₃=S₃-S₂=18，a₄=S₄-S₃=54；
（2）当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={3}^{n}-1-（{3}^{n-1}-1）=2•{3}^{n-1}$，
验证n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$，
由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2•{3}^{n}}{2•{3}^{n-1}}=3$（常数），可得数列{a_n}是等比数列；
（3）由（2）可得${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了由数列的前n项和求得数列的通项公式，是中档题．