Question

11．已知0＜m＜1，0＜n＜1，F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则使△PF₁F₂的面积等于n²的点P恰有4个的概率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或0．

Answer 1

分析 分m＞n和m＜n两种情况分析，对于每一种情况，由椭圆方程求出焦距，设出P的坐标，由三角形面积公式求得面积，得到P的纵坐标（或横坐标），把使△PF₁F₂的面积等于n²的点P恰有4个转化为P的坐标与短半轴间的关系，由此求出n的范围，利用几何概型求概率．

解答 解：当m＞n时，a²=m²，b²=n²，
∴c²=a²-b²=m²-n²，$c=\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
设P（x_P，y_P），
则${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}×|{y}_{P}|$=n²，
∴$|{y}_{P}|=\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}$，
若使△PF₁F₂的面积等于n²的点P恰有4个，
则$|{y}_{P}|=\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}$＜n，即n²＜m²-n²，
∴2n²＜m²，
∵m²＜1，∴2n²＜1，则-$\frac{\sqrt{2}}{2}＜n＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜n＜1，则0$＜n＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由几何概型可得，使△PF₁F₂的面积等于n²的点P恰有4个的概率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当m＜n时，a²=n²，b²=m²，
∴c²=a²-b²=n²-m²，$c=\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}$，
设P（x_P，y_P），
则${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}×|{x}_{P}|={n}^{2}$，
∴$|{x}_{P}|=\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}}＜m$，即$（\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}）^{2}-\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}+1＜0$，
此时$\frac{m}{n}$无解，即使△PF₁F₂的面积等于n²的点P恰有4个的概率是0．
综上，使△PF₁F₂的面积等于n²的点P恰有4个的概率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或0．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了与焦点三角形有关的面积问题，考查几何概型的应用，体现了数学转化思想方法，有一定难度．