Question

16．线段AB是过抛物线x²=2py（p＞0）焦点F的弦，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．
（I）求证：N点在抛物线的准线上；
（Ⅱ）设直线AB与x轴交于Q点，当$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=4p²，△ABN的面积的取值范围限定在[5$\sqrt{5}$，45$\sqrt{5}$]时，求动线段QF的轨迹所形成的平面区域的面积．

Answer 1

分析 （I）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值，从而得到两切线交点的轨迹方程．
（Ⅱ）根据$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=4p²，求出直线的斜率，利用△ABN的面积的取值范围限定在[5$\sqrt{5}$，45$\sqrt{5}$]，求出p的范围，即可求动线段QF的轨迹所形成的平面区域的面积．

解答 （I）证明：由抛物线x²=2py，得其焦点坐标为F（0，$\frac{p}{2}$）．
设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），
直线l：y=kx+$\frac{p}{2}$代入抛物线x²=2py得：x²-2pkx-p²=0．
∴x₁x₂=-p²…①．
又抛物线方程为：y=$\frac{1}{2p}$x²，
求导得y′=$\frac{1}{p}$x，
∴抛物线过点A的切线的斜率为$\frac{{x}_{1}}{p}$，切线方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁）…②
抛物线过点B的切线的斜率为$\frac{{x}_{2}}{p}$，切线方程为y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂）…③
由①②③得：y=-$\frac{p}{2}$．
∴N的轨迹方程是y=-$\frac{p}{2}$，即N在抛物线的准线上；
（Ⅱ）解：由条件得M（0，-$\frac{p}{2}$），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）•（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）=p²k²=4p²，∴k²=4，k=±2，
由于$\overrightarrow{NF}$=（-pk，p），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）（1，k）
∴$\overrightarrow{NF}$•$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）（-pk+pk）=0
∴$\overrightarrow{NF}$⊥$\overrightarrow{AB}$．
又|$\overrightarrow{NF}$|=$\sqrt{5}$p，|$\overrightarrow{AB}$|=y₁+y₂+p=2pk²-2p=10p，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{NF}$||$\overrightarrow{AB}$|=5$\sqrt{5}$p²．
而S_△ABN的取值范围是[5$\sqrt{5}$，45$\sqrt{5}$]
∴5$\sqrt{5}$≤5$\sqrt{5}$≤45$\sqrt{5}$，1≤p²≤9．
∴1≤p≤3．
k=±2时，动线段QF的轨迹所形成的平面区域的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{3-1}{2}×\frac{3-1}{4}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查数量积的取值范围、抛物线方程与性质，考查导数知识，属于中档题．