Question

4．已知x，y为正实数，若x+2y=1，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+x}{xy}$的最小值为2$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 化简$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+x}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{1}{y}$=2$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+2，从而利用基本不等式求解即可．

解答 解：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+x}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{1}{y}$
=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{x+2y}{y}$=2$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+2
≥2$\sqrt{2}$+2，
（当且仅当2$\frac{x}{y}$=$\frac{y}{x}$，即x=$\frac{1}{2\sqrt{2}+1}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}$时，等号成立）；
故答案为：2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意“一正二定三相等”即可．