Question

12．已知数列{a_n}满足$\frac{3}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，a₁=3
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足$\frac{3}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，a₁=3，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=，可得：a_n=$\frac{3}{n}$．b_n=9$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足$\frac{3}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，a₁=3，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，首项为$\frac{1}{3}$，公差为$\frac{1}{3}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，可得：a_n=$\frac{3}{n}$．
b_n=a_na_n+1=$\frac{9}{n（n+1）}$=9$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=9$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=9$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{9n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．